有理数和无理数

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。√2=p/q 由于2q^2是偶数，p

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中文名 有理数和无理数

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有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数，如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

整数和通常所说的分数都是有理数。有理数还可以划分为正有理数、0和负有理数。

无理数指无限不循环小数，如：π。

无理数与有理数的区别：

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

√2=p/q

又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。

把 √2=p/q 两边平方

得 2=(p^2)/(q^2)

即 2(q^2)=p^2

由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也为偶数，设q=2n

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。